Die Erde ist flach: Theoretische Überlegungen zur terrestrischen Refraktion: sind "abgeschnittene Schiffsrümpfe" ein Beweis für eine Kugelerde?

Ich habe bereits hier darauf hingewiesen, dass das Phänomen der "terrestrischen Refraktion" von Verfechtern des Kugelerde-Modells sehr gerne, oft "reflexartig", bemüht wird, wenn ein Kritiker dieses Modells sich die Mühe macht, selber nachzuschauen und entfernte Objekte mit einer geeigneten Kamera über eine Entfernung sichtet und fotografiert, bei der sie laut Kugelerde-Modell durch die darin notwendig enthaltene Erdrümmung mathematisch vollständig "hinter dem Horizont" verschwunden sein sollten. Das Gegenargument lautet dann immer wie folgt: Die "terrestrische" Refraktion führt bekanntermassen zu einer scheinbaren Vergrößerung entfernter Objekte, weshalb es kein Wunder ist, dass das Objekt auch bei gekrümmter Erdoberfläche zwar mathematisch "hinter dem Horizont" verschwindet, tatsächlich aber dennoch sichtbar ist.
Auf der anderen Seite wird von Anhängern des Kugelerde-Modells oft das Argument gebraucht, "abgeschnittene Schiffsrümpfe" entfernter oder sich entfernender Schiffe seien ein Beweis für die Erdkrümmung. Auf einmal spielt die "terrestrische" Refraktion in diesen Fällen anscheinend keine Rolle mehr, woraus sich ein logisches Dilemma ergibt: wenn die "terrestrische" Refraktion Objekte "hinter dem Horizont hervorholt", wodurch eine Fotografie weit entfernter Objekte, die gemäß Erdkrümmung "hinter dem Horizont verschwunden" sein sollten, kein "Beweis" für eine flache Erde ist, können "abgeschnittene Schiffsrümpfe" oder ähnliches andereseits nicht als Argument oder gar "Beweis" für die Erdkrümmung dienen.

Um dieses Dilemma möglicherweise zu lösen, habe ich diese diesmal rein theoretischen Überlegungen angestellt, deren Ergebnis ich hier präsentiere.

In meinem früheren Artikel zur "terrestrischen" Refraktion habe ich gezeigt, dass atmosphärische Effekte sehr häufig zu einer Stauchung und optischen Verkleinerung entfernter Objekte führen. Auch deshalb scheinen mir diese optischen Effekte einer näheren Untersuchung würdig.

Zunächst einmal: Woher kommt die Bezeichung "terrestrische Refraktion", die zum Phänomen einer scheinbaren optischen Vergrößerung führen soll?

Schauen wir, wie üblich, bei Wikipedia nach, finden wir dort unter dem Stichwort "Refraktion" folgendes: "Refraktion (lateinisch re = ‚zurück‘ und frangere = ‚brechen‘) steht für: Brechung von Licht-, Schall- oder anderen Wellen im Allgemeinen, siehe Brechung (Physik)".
Und unter dem Stichwort "Terrestrische Refraktion" wird u. a. folgendes ausgeführt: "Als terrestrische Refraktion (auch Strahlenbrechung oder atmosphärische Refraktion genannt) wird die Brechung eines Lichtstrahls in der untersten Erdatmosphäre bezeichnet. Diese entsteht durch die Änderung des Brechungsindexes der Luft entlang des Strahlverlaufs infolge der mit der Höhe abnehmenden Luftdichte und bewirkt eine bogenförmige Krümmung des Strahls, die bei genaueren Vermessungen oder im physikalischen Labor als Korrektion („Reduktion“) an jedem gemessenen Vertikalwinkel angebracht werden muss. Diese Strahlkrümmung beträgt durchschnittlich 13 % der Erdkrümmung und erhöht die horizontale Sichtweite geringfügig."
Die Bezeichnung "Terrestrische Refraktion" fusst also auf der Tatsache, dass die Atmosphäre der Erde durch ihre physikalischen Eigenschaften zu einer Brechung des Lichts führt, woraus wiederum eine Krümmung der Lichtstrahlen resultiert.
Die theoretische Begründung lautet in aller Kürze wie folgt: Die Dichte der Atmosphäre nimmt mit zunehmender Höhe ab, umgekehrt also mit abnehmender Höhe zu, wodurch die optische Dichte der Atmosphäre mit abnehmender Höhe steigt. Optisch dichtere Medien krümmen Lichtstrahlen in Richtung auf das optisch dichtere Medium. Folglich werden Lichtstrahlen, die von einem hohen Objekt zu einem weniger hohen Beobachter gelangen "müssen", in Richtung Erdoberfläche gebeugt oder gekrümmt.

Weshalb dies auch auf einer angenommenen Kugelerde zu einer optischen Vergrößerung eines entfernten Objektes führen kann, lässt sich durch folgende Grafik veranschaulichen:

Abbildung 1: Grafische Veranschaulichung der scheinbaren optischen Vergrößerung eines entfernten Objekts durch Lichtbeugung/Lichtkrümmung durch terrestrische Refraktion.
"Dh" bezeichnet die scheinbare Vergrößerung des auszumessenden Obekts durch Krümmung des Lichtstrahls im Vergleich zu einem geradlinig - tangential zur gekrümmten Erdoberfläche - verlaufenden Lichtstrahl.

So weit, so theoretisch wohl korrekt.
In Abbildung 1 wird der Praxisfall der Vermessung eines Objekts dargestellt, bei dem das entfernte Objekt deutlich oberhalb des Horizonts sichtbar ist. Vermessungsingenieure würden vermutlich nicht auf die Idee kommen, Objekte vermessen zu wollen, die für sie nicht mehr sichtbar sind, sich also nicht über den Horizont erheben.

Schauen wir uns nun die Definition des sehr wichtigen Refraktionskoeffizienten (k) an, der das Ausmass der Krümmung der Lichtstrahlen beschreibt und im Tagesverlauf stark schwanken kann (siehe hierzu die Grafik "Zeitlicher Verlauf des Refraktionskoeffizienten in Bodennähe..." im Wikipedia-Artikel) und natürlich durch Wind, Thermik und sonstige atmosphärische Bedingungen beeinflusst wird. Aus diesem Grund ist auch anzunehmen, dass der Refraktionskoeffizient lokal jeweils leicht unterschiedlich sein wird, was sich insbesondere mit zunehmender Entfernung des beobachteten Objekts vom Beobachter auswirken wird. Wir sollten also für die nachfolgenden Betrachtungen berücksichtigen, dass wir für theoretische Überlegungen selbstverständlich immer nur von einem gemittelten Refraktionskoeffizienten ausgehen können.
Hierzu Wikipedia: "Die Refraktion variiert sehr stark, sie hängt von der aktuellen Dichteschichtung der Atmosphäre ab, genauer vom Gradienten der Feuchtigkeit, der Temperatur und des Druckes der Luft, sodass sie mittels meteorologischer Messungen entlang des Strahlweges berechnet werden kann."

Laut Wikipedia ist der Refraktionskoeffizient k definiert als:

k = R/r

wobei R den Erdradius bezeichnet und r den Radius des gekrümmten Lichtstrahls.

Weiter lesen wir bei Wikipedia: "Der mittlere Refraktionskoeffizient ist k = 0,13. Die mittlere Krümmung der Lichtstrahlen beträgt rund 13 Prozent der Erdkrümmung. Dieser Wert passt gut zum Dichtegradienten und dem vertikalen Temperaturgradienten der Normatmosphäre und wurde seit 200 Jahren für die Reduktion der meisten geodätischen Höhenmessungen verwendet."

Wenn das so ist, sollte es unter wissenschaftlichen Gesichtspunkten korrekt sein, für meine folgenden Überlegungen ebenfalls zunächst von k = 0,13 auszugehen.

Was bedeutet ein Refraktionskoeffizient mit k = 0,13?

Formen wir obige Gleichung einmal um zu r = R/k, dann ergibt sich, dass sich der k-Wert, der, laut Wikipedia "seit 200 Jahren für die Reduktion der meisten geodätischen Höhenmessungen verwendet" wurde, auf gekrümmte Lichtstrahlen bezieht, deren Radius r 7,7 mal größer ist als der angebliche Erdradius.

Aus der in meinem ersten Artikel zur flachen Erde hergeleiteten Näherungsformel zur Berechnung der Erdkrümmung (die auch von der NASA jedenfalls zu Illustrationszwecken verwendet wird) ergibt sich, SCHRITT 5: d = √h x √2R, dass die Krümmung (h) selbstverständlich umgekehrt proportional zum Radius R ist (√h = d/√2R, bei gleich bleibendem d - und dementsprechend d =1 - ist dann also h = 1/2R oder, noch weiter vereinfacht: h = 1/2 x 1/R. Da der Faktor 1/2 konstant ist, ergibt sich damit h ∼ 1/R).
Wenn nun bei einem k von 0,13 der Radius der gekrümmten Lichtstrahlen 7,7 mal so groß wie der "Erdradius"  ist (r = 7,7 R), ist das gleichbedeutend mit der Wikipedia-Aussage, dass die Strahlkrümmung durchschnittlich 13 % der Erdkrümmung beträgt, denn bei h ∼ 1/R ist dann h ∼ 1/7,7 R und das wiederum entspricht einer Krümmung von 13% bezogen auf die Krümmung, die sich für den "Erdradius" ergibt (wie bei Wikipedia ausgeführt).
Also können wir auch sagen, dass k den Krümmungsgrad der Lichtstrahlen in % der Erdkrümmung angibt.

Betrachten wir nun theoretisch-schematisch verschiedene Szenarien auf einer gekrümmten Erde und untersuchen wir, ob ein Betrachter ein entferntes Objekt jeweils sehen kann. Zur Erstellung der Grafiken habe ich das Programm "Canva" (https://www.canva.com) verwendet. Die braune Erdkugel hat auf allen Grafiken einen Durchmesser von 900 Pixeln (r = 450 Pixel). Da im Kreis d = 2 r gilt, entspricht eine Vergrößerung des Durchmessers um den Faktor n einer ebenso starken Vergrößerung von r, den ich bei den roten (und blauen) "Lichtstrahlen" jeweils angegeben habe.

1.) Augenhöhe Beobachter (oder Kameralinse) befindet sich auf derselben tatsächlichen Höhe wie das entfernte Objekt und beide befinden sich deutlich über dem Horizont.

Abbildung 2: Beobachter befindet sich in gleicher tatsächlicher Höhe wie das entfernte Objekt, beide sind deutlich über dem Horizont.

Bei dieser Betrachtung geht es mir nicht darum, festzustellen, wie viel des entfernten Objekts "unter dem Horizont abgeschnitten" wäre. Ich möchte lediglich verdeutlichen, dass unter diesen Bedingungen die Einbeziehung der terrestrischen Refraktion in die Überlegungen sinnhaft ist und bleibt.

2.) Augenhöhe Beobachter viel niedriger als entferntes Objekt und unterhalb des Horizonts, entferntes Objekt deutlich über dem Horizont.



Abbildung 3: Beobachter ist viel niedriger als entferntes Objekt, Beobachter befindet sich unterhalb des Horizonts.

Unter den in Abbildung 3 dargestellten Bedingungen wäre das entfernte Objekt selbst dann sichtbar, wenn sich der Beobachter, genauer, die Augenhöhe des Beobachters, knapp unterhalb der theoretischen Horizontlinie befände, während sich das entfernte Objekt mit seiner Spitze deutlich darüber erhebt.

3.) Beobacher unter Horizont, entferntes Objekt gerade unterhalb des Horizonts.

 Abbildung 4: Sowohl Beobachter, als auch entferntes Objekt unterhalb des Horizonts.

Unter den in Abbildung 4 dargestellten Bedingungen wäre durch die terrestrische Refraktion ein kleiner Teil der Spitze des entfernten Objekts (und ein äußerst geringer Teil des Gesamtobjekts) sichtbar, der zwischen der blauen und roten "Lichtstrahlkurve" liegt. Da auch der blaue Lichtstrahl beim Auge des Beobachters (oder der Kameralinse) ankommen muss, sind alle weiteren Möglichkeiten des Strahlenverlaufs mit Ausnahme solcher Verläufe ausgeschlossen, deren Strahlen zwischen dem roten und dem blauen Strahl liegen.
Es sollte deutlich werden, dass die terrestrische Refraktion nicht herangezogen werden kann, um zu erklären, dass Objekte "unterhalb der Horizontlinie" sichtbar werden, wenn der k-Wert den Standard-Bedingungen entspricht.

Schauen wir uns also an, ob Refraktionsbedingungen mit k = 0,13 "weit unterhalb der Horizontlinie liegende" Objekte optisch "hervorholen" können.

4.) Beobachter unterhalb Horizontlinie, entferntes Objekt deutlich unterhalb der Horizontlinie.

Abbildung 5: Beobachter unterhalb Horizont, entferntes Objekt deutlich unterhalb Horizont

Unter den in Abbildung 5 gezeigten Bedingungen wird jetzt schließlich deutlich, dass mit k = 0,13 kein Stück des "unter dem Horizont verschwundenen" entfernten Objekts mehr sichtbar wäre. Es möge bitte beachtet werden, dass die rote Linie nur noch knapp oberhalb des Horizonts verläuft. Selbstverständlich ist es möglich, den roten Strahlenverlauf so zu verschieben, dass der Teil des roten Strahls, der sich nahe des entfernten Objekts befindet, weiter nach unten sinkt. Dann aber verläuft der rote Strahl selber bereits unterhalb des Horizonts, wodurch jede Sichtung eines solchen Lichtstrahls ausgeschlossen ist.
Da mit k = 0,13 unter diesen Bedingungen das entfernte Objekt nicht mehr gesehen oder fotografiert werden kann, habe ich einen weiteren Lichtstrahl mit k = 1,0 eingezeichnet, der das entfernte Objekt wesentlich tiefer "trifft" (tatsächlich würde ein solcher Lichtstrahl vom entfernten Objekt "ausgehen").
Bedingungen mit starker Refraktion treten vorwiegend an den Grenzschichten zwischen Land und Wasser auf, weil sich die Luft über Land viel stärker und schneller erwärmt als über Wasser. Bei so starker Refraktion wirken die entfernten Gegenstände oft gestaucht oder gedrungen und werden auch mit einem Tele-Objektiv unscharf abgebildet. Da Beobachtungen weit entfernter Objekte wegen der gebotenen optischen Hindernisfreiheit "notwendigerweise" über Wasser, meist von Land aus, gemacht wurden (und sich das entfernte Objekt häufig wiederum an Land befand), ist anzunehmen, dass hierbei oft Bedingungen mit starker Refraktion vorlagen.
Möglicherweise sind also atmosphärische Bedingungen, die zu einer sehr starken Refraktion führen, in der Lage, entfernte Objekte "hinter dem Horizont hervorzuholen"

5. ) In der nächsten Abbildung untersuchen wir Refraktionsbedingungen mit k = 1,0.

Abbildung 6: Theoretische Strahlenverläufe für k = 1,0.

Es stellt sich heraus, dass unter Refraktionsbedingungen mit k = 1,0 tatsächlich ein weit entferntes Objekt, das auf einer Kugelerde weit "unterhalb des Horizonts" läge, sogar vollständig sichtbar wäre. Durch die sehr starke Lichtbeugung würden diese Objekte allerdings verzerrt und unscharf abgebildet.

Nur der Vollständigkeit halber sei hier noch folgendes erwähnt: Für k > 1 werden die Lichtstrahlen der Theorie zufolge nach oben gebeugt. Ich denke, es bedarf keiner weiteren Erläuterung, um darzulegen, dass "nach oben gebeugte" Lichtstrahlen eines "unter dem Horizont verschwundenen" entfernten Objekts auf einer Kugelerde niemals beim Beobachter ankommen können.

Diskussion und Fazit: Ich habe mir ganz bewusst zwei Extremwerte der "terrestrischen" Refraktion näher angesehen: Einmal die Refraktion unter Standardbedingungen mit k = 0,13 und einmal den "Grenzwert" einer Lichtbeugung, bei der theoretisch die Strahlen noch nach unten gekrümmt sind, bevor sie bei Überschreiten des k-Werts von 1,0 anscheinend nach oben gebeugt werden.
Während unter Standard-Bedinungungen weit "unter den Horizont abgesunkene" Objekte überhaupt nicht mehr sichtbar wären (Abbildung 5, roter Lichtstrahl mit k = 0,13), sind atmosphärische Bedingungen mit einem k-Wert von 1,0 in der Lage, solche Objekte jedenfalls theoretisch vollständig sichtbar zu machen (Abbildung 6).

Damit ergibt sich aus diesen Betrachtungen nur eine mögliche korrekte Schlussfolgerung: ohne genaue Kenntnis des k-Wertes zum Zeitpunkt und am Ort einer jeweiligen Aufnahme kann ein "hinter dem Horizont sichtbares" Objekt nicht dazu dienen, zwischen dem Modell der Kugel- und der flachen Erde zu unterscheiden.
Dies gilt sowohl für Aufnahmen entfernter Objekte, die die Kugelerde widerlegen und die flache Erde "beweisen" sollen, als selbstverständlich auch für Aufnahmen, auf denen etwas "abgeschnitten" ist (vergleiche dazu auch diesen und diesen Artikel hier im Blog), die ohne Kenntnis des k-Wertes keinen "Beweis" für eine Kugelerde liefern können. Dies schon allein deshalb nicht, weil optische Effekte wie beispielsweise Spiegelungen über Wasser ein "Abschneiden" oder "Verdecken" vortäuschen können.
Es ist ohne Kenntnis des k-Wertes zum Zeitpunkt und am Ort einer Aufnahme auch vollkommen sinnlos, zu argumentieren, ein entferntes Objekt sei durch "terrestrische Refraktion" optisch um einen Wert erhöht, der auf nichts weiter als Spekulation beruht, beispielsweise der bei Wikipedia (siehe oben verlinkten Artikel) aufgestellten vollkommen allgemeinen Behauptung, die scheinbare optische Vergrößerung betrage 1 m auf 10 km und nehme mit dem Quadrat der Entfernung zu. Diese Werte hängen selbstverständlich ebenfalls vom k-Wert ab und sind damit wesentlich variabler als bei Wikipedia suggeriert.
Interessant erscheint mir in diesem Zusammenhang auch die oben aus dem Wikipedia-Artikel zitierte Aussage: "Die mittlere Krümmung der Lichtstrahlen beträgt rund 13 Prozent der Erdkrümmung. Dieser Wert passt gut zum Dichtegradienten und dem vertikalen Temperaturgradienten der Normatmosphäre und wurde seit 200 Jahren für die Reduktion der meisten geodätischen Höhenmessungen verwendet."
Falls das der Wahrheit entspricht, waren entweder die atmosphärischen Bedingungen der vergangenen 200 Jahre erstaunlich stabil oder die Vermesser sind zum größten Teil schlampig vorgegangen.

Da sich der Refraktionskoeffizient nicht nur tageszeitlich, sondern auch lokal, also gegebenenfalls über die Strecke zwischen Beobachter und Objekt, ändert, erscheint es mir äußerst schwierig, ihn jeweils genau zu bestimmen, wobei ich nicht bezweifle, dass es Möglichkeiten für seine genaue Bestimmung gibt. Laut Wikipedia bedarf es dazu "meteorologischer Messungen entlang des Strahlenweges".
Selbst wenn der genaue k-Wert bekannt ist, bedarf es anschließend einer exakten mathematisch-theoretischen Analyse, um zu bestimmen, ob Teile eines entfernten Objekts unter den Bedingungen einer Kugelerde "abgeschnitten" wären oder nicht und wie groß genau der "abgeschnittene" Anteil wäre.

Fazit: Bis uns "Hobbyforschern" solche Möglichkeiten zur Verfügung stehen, rate ich nach den hier vorgestellten Ergebnissen ganz einfach davon ab, weitere optische Beobachtungen entfernter erdgebundener Objekte als "Beweis" für eine flache oder Kugelerde jedenfalls dann zu betrachten, wenn keine exakte Analyse des k-Wertes nach wissenschaftlich anerkannten Kriterien zum Zeitpunkt und am Ort der Aufnahme vorgenommen wurde.

Damit ist die Frage, welche Form die Erde möglicherweise tatsächlich besitzt, auf Grundlage solcher Beobachtungen derzeit nicht zu entscheiden und es bleibt nur übrig, das heliozentrische Modell insgesamt auf andere Weise zu falsifizieren, wofür ich auf diesem Blog viele Beispiele aufzeige. Auf Grundlage dieser vielen anderen Falsifizierungen bezeichne ich es nach wie vor als "heliozentrisches Unfugmodell" (HUM).